Pada 20 Maret, ahli matematika Amerika-Kanada Robert Langlands menerima Hadiah Abel, merayakan pencapaian seumur hidup dalam matematika. Penelitian Langlands menunjukkan bagaimana konsep dari geometri, aljabar, dan analisis dapat disatukan oleh tautan umum ke bilangan prima.
Ketika Raja Norwegia mempersembahkan penghargaan kepada Langlands pada bulan Mei, ia akan menghormati upaya terbaru dalam 2.300 tahun untuk memahami bilangan prima, yang merupakan data terbesar dan tertua dalam matematika. Sebagai ahli matematika yang mengabdikan diri pada "program Langlands" ini, saya terpesona oleh sejarah bilangan prima dan bagaimana kemajuan terkini menggali rahasia mereka. Mengapa mereka memikat ahli matematika selama ribuan tahun?
Untuk mempelajari bilangan prima, matematikawan menyaring bilangan bulat melalui satu jala virtual demi satu sampai hanya bilangan prima yang tersisa. Proses pengayakan ini menghasilkan tabel jutaan bilangan prima di tahun 1800-an. Hal ini memungkinkan komputer saat ini untuk menemukan milyaran bilangan prima dalam waktu kurang dari satu detik. Namun gagasan inti ayakan tidak berubah dalam lebih dari 2.000 tahun.
"Bilangan prima adalah yang diukur dengan satuan saja, " tulis ahli matematika Euclid pada 300 SM. Ini berarti bahwa bilangan prima tidak dapat dibagi secara merata dengan angka yang lebih kecil kecuali 1. Dengan konvensi, matematikawan tidak menghitung 1 sendiri sebagai nomor utama. Euclid membuktikan ketidakterbatasan bilangan prima — mereka berlangsung selamanya — tetapi sejarah menunjukkan bahwa Eratosthenes yang memberi kami saringan untuk dengan cepat mendaftarkan bilangan prima.
Inilah gagasan tentang ayakan. Pertama, filter kelipatan 2, lalu 3, lalu 5, lalu 7 — empat bilangan prima pertama. Jika Anda melakukan ini dengan semua angka dari 2 hingga 100, hanya bilangan prima yang akan tersisa.
Mengayakan kelipatan 2, 3, 5 dan 7 hanya menyisakan bilangan prima antara 1 dan 100. (Courtesy of MH Weissman) Dengan delapan langkah penyaringan, satu dapat mengisolasi bilangan prima hingga 400. Dengan 168 langkah penyaringan, satu dapat mengisolasi bilangan prima hingga 1 juta. Itulah kekuatan ayakan Eratosthenes.
**********
Tokoh awal dalam tabulasi bilangan prima adalah John Pell, seorang ahli matematika Inggris yang mendedikasikan dirinya untuk membuat tabel angka yang berguna. Dia termotivasi untuk memecahkan masalah aritmatika kuno Diophantos, tetapi juga oleh pencarian pribadi untuk mengatur kebenaran matematika. Berkat upayanya, bilangan prima hingga 100.000 secara luas diedarkan pada awal 1700-an. Pada 1800, proyek-proyek independen telah mentabulasi bilangan prima hingga 1 juta.
Untuk mengotomatiskan langkah-langkah penyaringan yang membosankan, seorang matematikawan Jerman bernama Carl Friedrich Hindenburg menggunakan slider yang dapat disesuaikan untuk membasmi kelipatan di seluruh halaman sekaligus. Pendekatan berteknologi rendah namun efektif lainnya menggunakan stensil untuk menemukan lokasi multipel. Pada pertengahan 1800-an, ahli matematika Jakob Kulik telah memulai proyek ambisius untuk menemukan semua bilangan prima hingga 100 juta.
Sebuah stensil yang digunakan oleh Kulik untuk ayakan kelipatan 37. AAW, Nachlass Kulik, (Gambar milik Denis Roegel, penulis berikan) "Data besar" tahun 1800-an ini mungkin hanya berfungsi sebagai tabel referensi, jika Carl Friedrich Gauss tidak memutuskan untuk menganalisis bilangan prima untuk kepentingan mereka sendiri. Berbekal daftar bilangan prima hingga 3 juta, Gauss mulai menghitungnya, satu "cabai, " atau kelompok 1.000 unit, pada suatu waktu. Dia menghitung bilangan prima hingga 1.000, kemudian bilangan prima antara 1.000 dan 2.000, lalu antara 2.000 dan 3.000 dan seterusnya.
Gauss menemukan bahwa, ketika ia menghitung lebih tinggi, bilangan prima secara bertahap menjadi kurang sering sesuai dengan hukum "log terbalik". Hukum Gauss tidak menunjukkan dengan tepat berapa banyak bilangan prima yang ada, tetapi ia memberikan perkiraan yang cukup bagus. Misalnya, hukumnya memperkirakan 72 bilangan prima antara 1.000.000 dan 1.001.000. Hitungan yang benar adalah 75 bilangan prima, sekitar 4 persen kesalahan.
Satu abad setelah penjelajahan Gauss yang pertama, hukumnya terbukti dalam “teorema bilangan prima”. Persentase kesalahan mendekati nol pada rentang bilangan prima yang lebih besar dan lebih besar. Hipotesis Riemann, masalah hadiah jutaan dolar hari ini, juga menggambarkan seberapa akurat perkiraan Gauss.
Teorema bilangan prima dan hipotesis Riemann mendapatkan perhatian dan uang, tetapi keduanya ditindaklanjuti sebelumnya, analisis data yang kurang glamor.
.....
Saat ini, set data kami berasal dari program komputer daripada stensil yang dipotong sendiri, tetapi matematikawan masih menemukan pola baru dalam bilangan prima.
Kecuali untuk 2 dan 5, semua bilangan prima berakhir di digit 1, 3, 7 atau 9. Pada 1800-an, terbukti bahwa kemungkinan digit terakhir ini sama-sama sering. Dengan kata lain, jika Anda melihat bilangan prima hingga satu juta, sekitar 25 persen berakhir pada 1, 25 persen berakhir pada 3, 25 persen berakhir pada 7, dan 25 persen berakhir pada 9.
Beberapa tahun yang lalu, sejumlah teoretisi Stanford Lemke Oliver dan Kannan Soundararajan terperangah oleh quirks dalam angka akhir bilangan prima. Eksperimen melihat digit terakhir prime, serta digit terakhir prime berikutnya. Misalnya, prime berikutnya setelah 23 adalah 29: Seseorang melihat angka 3 dan kemudian angka 9 dalam digit terakhirnya. Apakah seseorang melihat 3 kemudian 9 lebih sering dari 3 kemudian 7, di antara digit bilangan prima terakhir?
Frekuensi pasangan digit terakhir, di antara bilangan prima berturut-turut hingga 100 juta. Warna yang cocok sesuai dengan celah yang cocok. (MH Weissman, CC BY) Ahli teori bilangan mengharapkan beberapa variasi, tetapi apa yang mereka temukan jauh melebihi harapan. Primes dipisahkan oleh celah yang berbeda; misalnya, 23 berjarak enam angka dari 29. Tetapi bilangan prima 3-lalu-9 seperti 23 dan 29 jauh lebih umum daripada 7-maka-3 bilangan prima, meskipun keduanya berasal dari jarak enam.
Matematikawan segera menemukan penjelasan yang masuk akal. Tetapi, ketika datang ke studi tentang bilangan prima berturut-turut, matematikawan (sebagian besar) terbatas pada analisis data dan persuasi. Bukti — standar emas matematikawan untuk menjelaskan mengapa segala sesuatunya benar — tampak berpuluh-puluh tahun jauhnya.
Artikel ini awalnya diterbitkan di The Conversation.
Martin H. Weissman, Associate Professor Matematika, University of California, Santa Cruz
